Polynésie, septembre 2023

Partie A

On considère la fonction  \(f\) définie sur  \(\mathbb{R}\) par  \(f(x)=\left(x+ \dfrac{1}{2} \right) \mathrm{e}^{-x}+x\) .

1. Déterminer les limites de \(f\)  en  \(-\infty\) et en \(+\infty\) .

2. On admet que  \(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) .
    a. Démontrer que, pour tout \(x \in\mathbb{R}\) ,  \(f^{\prime{\prime}}(x)=\left( x-\dfrac{3}{2} \right)\mathrm{e}^{-x}\) .
    b. En déduire les variations et le minimum de la fonction  \(f^\prime\) sur \(\mathbb{R}\) .
    c. Justifier que, pour tout \(x \in\mathbb{R},f^\prime (x) >0\) .
    d. En déduire que l’équation  \(f(x)=0\) admet une unique solution sur \(\mathbb{R}\) .
    e. Donner une valeur arrondie à  \(10^{-3}\) de cette solution.

Partie B

On considère une fonction \(h\) , définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) , ayant une expression de la forme \(h(x) = (ax + b)\mathrm{e}^{-x}\) , où  \(a\) et  \(b\) sont deux réels. 

Dans le repère orthonormé ci-après figurent :

• la courbe représentative  \(C_h\) de la fonction  \(h\) ;
  
• les points  \(\text A\) et  \(\text B\) de coordonnées respectives \((-2\; ; -2, 5)\) et \((2 \;; 3,5)\) .
  

1. Conjecturer, avec la précision permise par le graphique, les abscisses des éventuels points d’inflexion de la courbe représentative de la fonction \(h\) .

2. Sachant que la fonction  \(h\) admet sur  \(\mathbb{R}\) une dérivée seconde d’expression  \(h^{\prime{\prime}}(x)=-\dfrac{3}{2}\mathrm{e}^{-x}+x\mathrm{e}^{-x}\) , valider ou non la conjecture précédente.

3. Déterminer une équation de la droite \((\text A\text B)\) .

4. Sachant que la droite  \((\text A\text B)\) est tangente à la courbe représentative de la fonction  \(h\) au point d’abscisse \(0\) , en déduire les valeurs de  \(a\) et de  \(b\) .